Disequazioni fratte svolte

Le disequazioni fratte (o frazionaria) sono disequazioni in cui l’incognita x compare nel denominatore di una frazione.

La forma base delle equazioni fratte è del tipo:

$$ \frac{N(x)}{D(x)}>0 \\ \ \\ \ \\ \text{$N(x)$ è il numeratore della frazione} \\ \text{$D(x)$ è il denominatore della frazione} $$

In cui abbiamo un’unica frazione algebrica in x sulla sinistra e lo zero a destra.

Possiamo rintracciare anche le forme:

$$ \frac{N(x)}{D(x)} \ge 0 \quad \frac{N(x)}{D(x)} < 0 \quad \frac{N(x)}{D(x)} \le 0 $$

Per risolverla studiamo i segni del numeratore e del denominatore: 

$$ N(x) \color{red}{ > }\ 0 \quad D(x) \color{red}{ >}0 $$

Successivamente imponiamo facciamo la tabella dei segni.

È parecchio essenziale che studiamo positivi  i segni del numeratore e del denominatore

Questo  indipendentemente dal accaduto che nella disequazione fratta nella sagoma base vi sia superiore altrimenti minore! 

$$ \frac{N(x)}{D(x)} \color{blue}{>} 0 \quad \frac{N(x)}{D(x)} \color{blue}{<} 0 $$

Quando nella disequazione compare anche il indicazione di uguale 

$$ \frac{N(x)}{D(x)} \color{blue}{\ge} 0 \quad \frac{N(x)}{D(x)} \color{blue}{\le} 0 $$

il numeratore va studiato superiore o identico a zero:

$$ N(x) \color{red}{\ge} 0 $$

Mentre il denominatore solamente maggiore poiché per le condizioni di esistenza della frazione non può stare nullo.

$$ D(x) \color{red}{>} 0 $$

La tabella dei segni serve per moltiplicare il segno del numeratore con quello del denominatore (o dei fattori che li compongono).

Una mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo che abbiamo il segno finale della frazione selezioniamo quello che ci interessa, ovvero quello indicato dalla disequazione fratta, gruppo agli eventuali zeri

DISEQUAZIONI FRATTE NELLA Sagoma BASE

Cominciamo a scaldare i motori su codesto tema svolgendo inizialmente esempi di disequazioni frate che si trovano nella sagoma base.

Applicheremo quindi le regole di scomposizione dei polinomi al termine di scomporre ed eventualmente semplificare le frazioni

ESEMPIO 1 – DISEQUAZIONI FRATTE

Vediamo codesto esempio:

$$ \frac{2x-1}{x+1} >0 $$

Come è semplice osservare ci troviamo già nella forma base, in misura abbiamo un’unica frazione a sinistra e lo nullo a destra.

I polinomi al numeratore e al denominatore sono di primo livello e sono già fattori primi.

Adesso studiamo il segno del numeratore e del denominatore, risolvendo delle disequazioni di primo grado.

È parecchio rilevante che li studiamo imponendo sia il numeratore che il denominatore maggiori di zero.

Cominciamo dal numeratore:

$$ 2x-1 >0 \to 2x >1 \to x > \frac{1}{2} $$

Sulla corrispondente riga della tabella dei segni metteremo i segni positivi a lato destro di 1/2, durante i segni negativo andranno a sinistra.

Ora passiamo al denominatore

$$ x+1>0 \to x>-1 $$

Sulla corrispondente riga della tabella dei segni metteremo i segni positivi a lato destro del –1, durante i segni negativi andranno a sinistra

A codesto a mio avviso questo punto merita piu attenzione imponiamo possiamo edificare la tabella dei segni in cui mettiamo una linea dei numeri reali al di sopra la che andiamo a annotare tutte le soluzioni ricavate.

Sotto questa qui linea mettiamo in due righe distinte i segni del numeratore e del denominatore

Notiamo la tabella è suddivisa in tre zone dai due numeri –1  e 1/2.

Sull’ultima riga in ogni area abbiamo messo il prodotto dei segni del numeratore e del denominatore.

Come soluzione finale abbiamo preso la area positiva poiché la disequazione ci chiedeva che la frazione risultasse superiore di nullo (>0).

ESEMPIO 1 – VARIANTE Singolo – MINORE DI ZERO

Vediamo adesso una prima variante del primo dimostrazione e inseriamo in che modo indicazione della disequazione il minore di zero (<0)

$$ \frac{2x-1}{x+1} >0 $$

L’analisi che abbiamo accaduto è totalmente identica a misura abbiamo visto sopra.

Sia il numeratore che il denominatore vanno studiati maggiori di zero.

Questo anche se il indicazione della disequazione è minore di zero.

$$ 2x-1>0 \to 2x>1 \to x > \frac{1}{2} \\ x+1 >0 \to x>-1$$

Anche nella tabella dei segni non cambia assolutamente nulla.

L’unica oggetto che cambia è la soluzione finale, ovunque andiamo a afferrare la zona negativa.

ESEMPIO 1 – VARIANTE DUE – Superiore O Identico A ZERO

Vediamo adesso una seconda variante del primo modello e inseriamo in che modo indicazione della disequazione il maggiore o identico a zero (>=0)

$$ \frac{2x-1}{x+1} \ge 0 $$

L’analisi che abbiamo evento è quasi identica a misura abbiamo visto sopra.

La oggetto che cambia per lo a mio parere lo studio costante amplia la mente del indicazione è che il numeratore va studiato maggiore o identico a zero:

$$ 2x-1\ge 0 \to 2x \ge 1 \to x \ge \frac{1}{2} $$

Mentre il denominatore solo maggiore di zero

$$ x+1 >0 \to x >1 $$

La logica di codesto credo che il cambiamento sia inevitabile è che una frazione vale nulla se il numeratore vale zero!

Mentre il denominatore non può credo che il valore umano sia piu importante di tutto zero, per le condizioni di esistenza della frazione.

Nella tabella dei segni indichiamo questa uguaglianza a zero del numeratore con un puntino pieno.

Ovviamente codesto nulla del numeratore farà anche ritengo che questa parte sia la piu importante della soluzione finale.

ESEMPIO 1 – VARIANTE TRE – MINORE O Identico A ZERO

Vediamo adesso una terza variante del primo dimostrazione e inseriamo in che modo indicazione della disequazione il minore o identico a zero (<=0)

$$ \frac{2x-1}{x+1} \ge 0 $$

L’analisi è la stessa che per la variante due, con il numeratore superiore o identico a nulla e il denominatore soltanto maggiore

$$ 2x-1 \ge 0 \to 2x \ge 1 \to x \ge \frac{1}{2} \\ x+1>0 \to x > -1$$

Anche il grafico dei segni è identico alla variante due con il superiore o identico a zero

La credo che questa cosa sia davvero interessante che differisce è la soluzione finale dove prendiamo la zona minore o identico a zero.

Ora che abbiamo visto tutte le possibili varianti e in che modo comportaci in senso globale svolgiamo vari esempi con la massima autonomia (e qualche variante) 

ESEMPIO 2 – DISEQUAZIONI FRATTE

Vediamo codesto esempio:

$$ \frac{x^2+x}{x} \ge 0 $$

Come è semplice osservare ci troviamo già nella forma base, in misura abbiamo un’unica frazione a sinistra e lo nullo a destra.

Tuttavia il polinomio al numeratore è di istante livello e non risulta scomposto.

Fattorizziamo dunque il numeratore raccogliendo a fattor comune la x;

$$ x^2+x = x(x+1) $$

A codesto segno la frazione risulta nella forma base fattorizzata:

$$ \frac{x(x+1)}{x} \ge 0 $$

I due fattori al  numeratore li studiamo maggiori o identico a zero:

$$ x \ge 0 \\ x+1 >0 \to x>-1 $$

Mentre il fattore al denominatore solo superiore di zero

$$ x>0 $$

Ora impostiamo la tabella dei segni su tre righe:

NOTA Vantaggio !!!

Nella penso che la soluzione creativa risolva i problemi finale abbiamo preso la zona positiva.

Tuttavia abbiamo scartato la ritengo che la soluzione creativa superi le aspettative x=0 anche se rendeva il numeratore identico a zero.

Questo è dovuto al evento che x=0 rende anche il denominatore nullo, e dunque non è una soluzione accettabile per le condizioni di esistenza della frazione.

Per rendere ritengo che l'ancora robusta dia sicurezza più evidente questa qui credo che questa cosa sia davvero interessante ho segnalato con il simbolo della non esistenza  (∄) personale x=0 nell’ultima riga corrispondente al indicazione del denominatore.

Un altro maniera per mostrare la ritengo che la soluzione creativa superi le aspettative è il seguente:

$$ x \ge -1 \land x \ne 0 $$

La penso che la soluzione creativa risolva i problemi è valida per le x che sono maggiori o uguali di –1 eccetto lo nulla (con x distinto da zero).

ESEMPIO 2 – PROCEDURA ALTERNATIVA

Per superare l’esercizio 2 visto sopra

$$ \frac{x^2+x}{x} \ge 0 $$

Dopo aver credo che lo scritto ben fatto resti per sempre la frazione algebrica nella sua  forma base fattorizzata:

$$ \frac{x(x+1)}{x} \ge 0 $$

 Semplifichiamo ora  il fattore ordinario x al numeratore con il denominatore, ottenendo:

$$ x+1 \ge 0 \to x \ge -1 $$

Attenzione che prima di semplificare dobbiamo imporre le condizioni di esistenza sul fattore che eliminiamo al denominatore:

$$ x \ne 0 $$

Questo lo dobbiamo creare perché quando eliminiamo questa porzione di denominatore il fattore x non è più presente.

Ora possiamo offrire la ritengo che la soluzione creativa superi le aspettative finale mettendo a ritengo che il sistema possa essere migliorato la penso che la soluzione creativa risolva i problemi della disequazione con le condizioni di esistenza:

$$ \begin{cases} x &\ge& -1 \\ x &\ne& 0 \end{cases} $$

Dunque la penso che la soluzione creativa risolva i problemi finale è:

$$ S: \quad x \ge -1 \land x \ne 0 $$

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ESEMPIO 3 – DISEQUAZIONI FRATTE

Vediamo codesto esempio:

$$ \frac{x^2-4}{x^2-6x+9} \ge 0 $$

Come è semplice osservare ci troviamo già nella forma base, in misura abbiamo un’unica frazione a sinistra e lo nullo a destra.

Tuttavia dobbiamo fattorizzare il numeratore e il denominatore:

Per il numeratore usiamo la differenza di quadrati:

$$ x^2-4 = (x+2)(x-2) $$

Mentre il denominatore lo leggiamo in che modo un quadrato di binomio:

$$ x^2-6x+9 = (x-3)^2 $$

Scriviamo dunque la disequazione con la frazione algebrica scomposta

$$ \frac{(x+2)(x-2)}{(x-3)^2} \ge 0 $$

I due fattori al  numeratore li studiamo maggiori o identico a zero:

$$ \begin{array}{c} x-2 \ge 0 &\to& x \ge 2 \\ x+2 \ge 0 &\to& x \ge -2 \end{array} $$

Mentre il fattore al denominatore solo superiore di zero

$$ (x-3)^2 >0 \to x \ne 0 $$

Ricordiamo infatti che un quadrato è costantemente positivo tranne allorche la base vale zero.

Analogamente all’esercizio precedente abbiamo segnalato con il puntino rosso il accaduto che il a mio parere il valore di questo e inestimabile fosse anche uguale.

Mentre con il simbolo di non esistenza (∄) indichiamo il evento che quel cifra rederebbe nulla il denominatore quindi non va considerato.

ESEMPIO 3 – VARIANTE COL MINORE O UGUALE

Proviamo a creare una variante dell’esercizio 3 mettendo minore o identico a zero

$$ \frac{x^2-4}{x^2-6x+9} \le 0 $$

La scomposizione rimane identica:

$$ \frac{(x+2)(x-2)}{(x-3)^2} \le 0 $$

E così pure la tabella dei segni, cambia solamente la soluzione poiché prendiamo la area negativa o identico a zero.

Segnaliamo il accaduto che nella penso che la soluzione creativa risolva i problemi finale:

$$ S: \quad -2 \le x \le 2 $$

Non abbiamo segnalato il accaduto che la x deve esistere diversa da 3

$$ x \ne 3 $$

Poiché codesto a mio parere il valore di questo e inestimabile si trova al di fuori della area minore o identico a nullo, pertanto abbiamo già escluso codesto importanza in maniera esplicito.

ESEMPIO 4 – DISEQUAZIONI FRATTE

Passiamo a codesto frazione esempio:

$$ \frac{x^2-x-6}{x^2-3x} <0 $$

Come è semplice osservare ci troviamo già nella forma base, in misura abbiamo un’unica frazione a sinistra e lo nulla a destra.

Tuttavia dobbiamo fattorizzare il numeratore e il denominatore:

Scomponiamo  il numeratore come un trinomio speciale:

$$ x^2-x-6 = (x+2)(x-3) $$

Mentre il denominatore con un raccoglimento a fattor comune:

$$ x(x-3) $$

Scriviamo dunque la disequazione con la frazione algebrica scomposta

$$ \frac{(x+2)(x-3)}{ x(x-3)} <0 $$

Notiamo immediatamente di possedere un fattore con la stessa base al numeratore e al denominatore: (x–3) 

Optiamo dunque per l’opzione rapido e andiamo a semplificarli, ricordandoci di segnalare le condizioni di esistenza:

$$ CE: \quad x \ne 3 $$

La disequazione con la frazione ridotta ai minimi termini diventa:

$$ \frac{x+2}{x} <0 $$

Studiamo positivi il numeratore e il denominatore

$$ x+2 >0 \to x>-2 \\ x>0 $$

E costruiamo la tabella dei segni ricordandoci di segnalare la CE

ESEMPIO 4 – DISEQUAZIONI FRATTE

Passiamo a codesto frazione esempio:

$$ \frac{x^2-x-6}{x^2-3x} <0 $$

Come è semplice osservare ci troviamo già nella forma base, in misura abbiamo un’unica frazione a sinistra e lo nullo a destra.

Tuttavia dobbiamo fattorizzare il numeratore e il denominatore:

Scomponiamo  il numeratore come un trinomio speciale:

$$ x^2-x-6 = (x+2)(x-3) $$

Mentre il denominatore con un raccoglimento a fattor comune:

$$ x^2-3x = x(x-3) $$

Scriviamo dunque la disequazione con la frazione algebrica scomposta

$$ \frac{(x+2)(x-3)}{x(x-3)} <0 $$

Notiamo immediatamente di possedere un fattore con la stessa base al numeratore e al denominatore: (x–3) 

Optiamo dunque per l’opzione rapido e andiamo a semplificarli, ricordandoci di segnalare le condizioni di esistenza:

$$ \text{CE}: \quad x \ne 0 $$

La disequazione con la frazione ridotta ai minimi termini diventa:

$$\frac{x+2}{x} <0 $$

Studiamo positivi il numeratore e il denominatore

$$ \begin{array}{c} x+2 >0 \to x> -2 \\ x>0 \end{array} $$

E costruiamo la tabella dei segni ricordandoci di segnalare la CE

ESEMPIO 4 – VARIANTE CON Superiore DI ZERO

Se nella disequazione 4 avessimo il superiore di zero:

$$ \frac{x^2-x-6}{x^2-3x} >0 $$

Tutti i passaggi che svolgeremmo sarebbero identici e otteniamo sempre:

$$ \frac{x+2}{x}>0 \quad \text{con }\ x \ne 3 $$

Riportiamo dunque direttamente la tabella finale dei segni e la soluzione.

DISEQUAZIONI FRATTE CON LA SOMMA DI FRAZIONI

Gli esempi che abbiamo svolto sottile ad momento riguardavano equazioni fratte o frazionarie nella forma base.

$$ \frac{N(x)}{D(x)} >0 (<0) $$

Dove abbiamo utilizzato  la scomposizione dei polinomi e la mi sembra che la legge giusta garantisca ordine di annullamento sia per scoprire le condizioni di esistenza che per rintracciare le soluzioni.

Ora proponiamo degli esempi un po’ più complessi dove inizialmente non siamo nella sagoma base.

Questo avviene ad dimostrazione nel momento in cui il secondo me il testo ben scritto resta nella memoria presenta una somma di frazioni.

ESEMPIO 5 – DISEQUAZIONI FRATTE

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \le 0 $$

Sul fianco sinistro abbiamo una somma di frazioni algebriche:

Dunque dobbiamo rintracciare il denominatore comune.

Per farlo dobbiamo scomporre in fattori primi i denominatori.

In codesto evento siamo fortunati poiché i denominatori presenti sono già fattori primi, dunque basta semplicemente moltiplicarli tar di loro.

Il trascurabile ordinario multiplo tra i denominatori (minimo ordinario denominatore) è:

$$ x(x+1) $$

A codesto dettaglio applichiamo le regole per sommare le frazioni:

$$ \frac{1 \cdot(x+1) +1 \cdot x}{x(x+1)} \le 0 $$

Svolgiamo i calcoli al numeratore:

$$ x+1+x= 2x+1 $$

Ed qui la nostra disequazione nella forma base fattorizzata.

$$ \frac{2x+1}{x(x+1)} \le 0 $$

Studiamo momento il segno dei fattori al numeratore (maggiore identico a zero) e al denominatore (maggiore) 

$$ \begin{array}{c} 2x+1 \ge 0 &\to& x \ge – \frac{1}{2} \\ x >0 \\ x+1 >0 &\to& x>-1 \end{array} $$

Ora andiamo nella nostra tabella dei segni 

Nella soluzione prendiamo la zona + e i puntini (uguale a zero) 

ESEMPIO 5 – VARIANTE – DISEQUAZIONI FRATTE

Svolgiamo una variante dell’esercizio 5 con il maggiore o identico a zero (>=0) 

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \ge 0 $$

Tutti i passaggi visti al di sopra sono uguali e conducono alla sagoma base fattorizzata:

$$ \frac{2x+1}{x(x+1)} \ge 0 $$

Nella soluzione prendiamo la zona + e i puntini (uguale a zero) 

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ESEMPIO 6 – DISEQUAZIONI FRATTE

$$ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+2} + \frac{x+2}{x^2+3x+2} >0 $$

Sul fianco sinistro abbiamo una somma di frazioni algebriche:

Dunque dobbiamo scoprire il denominatore comune.

Per farlo dobbiamo scomporre in fattori primi i denominatori.

I primi due denominatori sono già fattori primi, durante il terza parte è un trinomio speciale di istante grado.

$$ x^2 +3x+2 = (x+2)(x+1)$$

Riscriviamo il testo:

$$ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+2} + \frac{x+2}{(x+2)(x+1)} >0 $$

Come possiamo osservare il denominatore comune è personale l’ultimo denominatore, in misura compaiono ognuno i fattori presenti negli altri denominatori.

Dunque avremo:

$$ \frac{x+2 -(x+1)+(x+2)}{(x+2)(x+1)} >0 $$

Finiamo i conti al numeratore:

$$ x+2-x-1+x+2= x+3 $$

Quindi la disequazione nella sagoma base e fattorizzata è:

$$ \frac{x+3}{(x+2)(x+1)} >0 $$

Studiamo momento il segno dei fattori al numeratore e il denominatore (maggiore) 

$$ \begin{array}{c} x+3>0 &\to& x>-3 \\ x+2>0 &\to& x>-2 \\ x+1>0 &\to& x>-1 \end{array} $$

Ora andiamo nella nostra tabella dei segni:

Da osservare che possiamo anche non mettere  i simboli di non esistenza (∄) che segnalano i fattori che rendono nullo il denominatore, in cui nel secondo me il testo ben scritto resta nella memoria non è a mio parere il presente va vissuto intensamente il mi sembra che il simbolo abbia un potere profondo di uguale.

Nella variante con il minore di zero:

$$ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+2} + \frac{x+2}{x^2+3x+2} <0 $$

Avremmo preso in che modo area di soluzione:

$$ S: \quad x<-3 \lor -2<x<-1 $$

ESEMPIO 7 – DISEQUAZIONI FRATTE

Chiudiamo l’articolo con codesto esempio:

$$ \frac{2x}{x-3} – \frac{x+1}{x+3} < \frac{11x+7}{x^2-9} $$

Per in precedenza oggetto spostiamo tutto a sinistra e fattorizziamo l’ultimo denominatore in che modo una differenza di quadrati:

$$ \frac{2x}{x-3} – \frac{x+1}{x+3} – \frac{11x+7}{x^2-9} <0$$

Ora facciamo il denominatore comune e applichiamo le regole per la somma di frazioni:

$$ \frac{2x(x+3)-(x+1)(x-3)-(11x+7)}{(x+3)(x-3)} <0 $$

Svolgiamo i calcoli al numeratore:

$$ 2x^2+6x-(x^2-2x-3)-11x-7 = \\ 2x^2+6x-x^2+ 2x+3-11x-7 = \\ x^2-3x-4 $$

Ci rendiamo calcolo che codesto è un trinomio speciale, quindi lo scomponiamo:

$$ (x-4)(x+1) $$

Riscriviamo la frazione:

$$ \frac{(x+4)(x+1)}{(x+3)(x-3)} <0 $$

Studiamo positivi i segni dei numero fattori:

$$ \begin{array}{c} x-4>0 &\to& x>4 \\ x+1>0 &\to& x>-1 \\ x+3>0 &\to& x>-3 \\ x-3>0 &\to& x>3 \end{array} $$

Nella tabella dei segni prendiamo la zona negativa (–)

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